時間：2023-07-07 16:10:45
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1、角的靜態定義：具有公共點的兩條射線組成的圖形叫做角。這個公共端點叫做角的頂點，這兩條射線叫做角的兩條邊。
2、角的動態定義：一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形叫做角。所旋轉射線的端點叫做角的頂點，開始位置的射線叫做角的始邊，終止位置的射線叫做角的終邊。
（來源：文章屋網 ）
在初中數學教學中,教師應重視和加強數學概念的教學,引導學生經歷概念的探索、發現和創新的過程,獲得相應的數學概念,體驗成功的喜悅,從而真正達到理解并融會貫通的目的,以切實提高教與學的效率。
一、生動恰當的引入概念
每當學生用一個新的概念時,教師都應讓其感到有必要學習這個概念,從而使他全身心地投入到下面的學習中去。要做到這一點有時并非輕而易舉,而是要費一番周折的。因此,合理地“引入”就顯得尤為重要。
1.以史為引。
在講授新概念時,教師結合課題內容,適當引入數學史、數學典故或數學家的故事,往往能激起學生的學習興趣、熱情。如講“無理數”時,教師可由無理數的發現者希伯索斯捍衛真理的英勇故事引入等。
2.以舊帶新。
在數學中有很多概念和以往學習的舊概念有密切的聯系。因此,在學習這些概念時,教師可在復習舊概念的基礎上類比引入新概念。如在講“一元二次方程”概念時,教師可先復習一元一次方程的概念,讓學生理解什么是“元”和“次”,接著寫出一個一元二次方程如x2+2x-1=0,讓學生將其與一元一次方程進行比較,找出異同,從而得出一元二次方程的概念。這樣既自然,又利于學生理解、記憶。再如不等式可類比方程引入,分式可類比分數引入,等等。
3.猜想導入。
“數學的發展并非是無可懷疑的真理在數學上的單純積累,而是一個充滿了猜想與反駁的過程”。因此,在概念引入時,教師應讓學生依據已有的材料和知識作出符合一定經驗與事實的推測性想像,讓學生經歷數學家發現新概念的最初階段,以培養學生敢于猜想的習慣,形成數學直覺,發展數學思維。
4.從“需要”入手。
有的概念可以從解決數學內部的需要來引入,如“負數”概念的教學,教師可以從溫度計上的零下溫度入手,引導學生感知現實生活中存在比零更小的數,但用以前學過的數無法表示出來,產生了思維沖突,從而有必要引入“負數”這一比零更小的數來表示這一部分數,導入自然,恰到好處。
5.直觀操作導入。
實踐出真知。手是腦的老師,學生通過動手操作、實踐,往往可以理解一些難以理解的概念。因此在教學中,教師可密切聯系數學概念在現實世界中的實際模型,通過對事物、模型的觀察、操作、比較、分析,進而自然地引入概念。
二、自主合理地形成概念
從學生學習數學概念的心理過程來看,概念的形成大致有概念同化和概念形成兩類。其中概念同化是指學生以原有知識為基礎,教師以定義的方式直接向學生揭示概念的方式;概念形成是指從大量的具體例子出發,從學生肯定經驗的例證中,以歸納的方式概括出事物的本質屬性。
但是,初中生已有的認知結構還不夠充分,知識經驗還很貧乏。顯然,概念同化的方式對其是不適的。所以,初中生掌握概念的典型方式還是概念形成。因此,在具體的教學中,教師應重視概念的形成過程。此環節教師絕不能包辦代替,應讓學生積極、主動地參與概念的形成過程。
三、準確、無誤地理解概念
1.語言表述要準確。
概念形成之后,教師應及時讓學生用語言表述出來,以加深對概念的印象。語言作為思維的物質外殼,教師可從學生的表述中得到反饋信息,了解、評價學生的思維結果。如概括圓的定義時,有的學生會漏掉“在同一平面內”這個條件;講分式的基本性質時,有的學生會了“零除外”這一條件等。教師讓學生自己把這些概念表述出來,及時發現問題,并加以糾正,給學生一個準確的表象,這樣既能培養學生的語言表達能力,又能發展他們的思維能力。
2.揭示概念的外延與內涵。
數學概念的內涵是指概念所反映的數學對象的本質屬性,反映的是“質”的方面,如“由不在同一條直線上的三條線段首尾順次連接所組成的圖形”、“兩邊之和大于第三邊”、“內角和為180?”等都是“三角形”這一概念的內涵。數學概念的外延是指數學概念所反映的對象的數量或范圍,反映的是“量”的方面。如銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形是“三角形”這個概念的外延。充分揭示概念的內涵和外延有助于學生加深對概念的理解。
3.加深對表示數學概念的符號理解。
數學概念本身就較為抽象,加上符號表示,從而更加抽象化,因此教師必須使學生真正理解符號的含義。如有學生會將sin(-θ)中的記號sin與(-θ)認為是相乘而錯誤地理解為sin(-θ)=-sinθ中左邊的符號是提出來的,所以教師要一開始就幫助學生正確地理解這些符號的意義,盡量克服學生發生類似的錯誤。
四、在靈活運用中鞏固概念
鞏固是概念教學的重要環節。心理學原理告訴我們:概念一旦獲得,如不及時鞏固,便會被遺忘。除了正確復述之外,教師還要引導學生在靈活運用中發展鞏固相應的概念。
1.嘗試錯誤,鞏固概念。
每一個數學概念都有這樣或那樣的限制條件,如果忽略了這些條件就可能導致解題的失誤。因此,學生鞏固概念時可以允許適當“示錯”,以加深印象,從而真正認識概念的本質。
2.利用變式,鞏固概念。
所謂變式,就是教師使提供給學生的各種感性材料不斷變換其表現形式,使非本質屬性時有時無,而本質屬性保持恒在。在幾何教學中教師常常采用“標準圖形”,學生就有可能把非本質的屬性如圖形的位置、大小等當作本質屬性,而造成錯誤。恰當運用變式,能使學生的思維不受消極定勢的束縛,實現思維方向的靈活轉換。
五、在概念系統中深化概念
數學是一門系統性很強的科學。布魯納說:“獲得的知識,如果沒有圓滿的結構把它聯在一起,那是一種多半會被遺忘的知識。一連串不連貫的論據在記憶中僅有短促得可憐的壽命?！币虼?在每一教學單元結束后,教師要及時進行概念總結,在總結時要特別重視同類概念的區別和聯系,從不同角度出發,制作較合理的概念系統歸類表。這樣不但可使學生的知識、概念網絡化,而且可培養學生的綜合能力。
總之,概念教學是初中數學教學的重要環節,教師在平時的教學中要加以足夠的重視,并遵循一定的教與學的規律,不斷探索、不斷創新,這樣一定能收到意想不到的教學效果。
參考文獻:
[1]全日制九年義務教育中學數學新課程標準(試驗稿).
1.要直觀形象的引入概念
一般情況下來說，學生在學習一個概念的時候是先感受學習對象，然后經過分析、綜合，在頭腦中形成一個初步的印象，最后才會形成概念。小學生的思維能力還處于比較簡單的階段，他們對于具體事物的感知會明顯高于抽象事物和概念，所以，他們的認識過程一般是從簡單到復雜，從具體到抽象。在引入數學概念的時候，一定要給學生創建一個比較具體的形象，讓學生直觀感受到所要學習的內容和概念，更容易進入學習狀態。例如，在教學“長方形和正方形”的時候，由于學生在之前已經接觸過有關直線、線段和平行相交之類的概念了，在學生的腦海里已經形成這樣的基礎和印象，在學習這節課的時候，老師可以事先準備一些長方形和正方形的模型和工具給學生展示，啟發學生去思考和想象，經過不斷地分析和觀察，可以得出一些有關這些圖形的特點和共性。
2.利用習題延伸概念內涵
每一個數學概念都可以得到更多的延伸含義，在這個概念適合的范圍內都可以用它來進行定義和論證，通過概念來進行運算，得出結果。在概念教學中，老師在學生對概念進行理解的基礎上要設計多種習題來進行訓練，讓學生學會觀察、分析以及綜合等方式，掌握題目的規律和思路，加深對概念的理解和解釋，把概念理解得更透徹，更明了。通過多角度、多方面以及對相似的概念進行對比和深化，掌握概念的本質意義，幫助學生利用好概念的延伸和內涵。例如，在教學“統計”的時候，由于這節課的內容是比較復雜的，學生在學習的時候一定要注意區分統計的各個定義和統計方法，所以在學生基本上了解所學內容之后，老師要注意多設計一些數學習題來鍛煉學生，讓學生回顧和運用所學的知識，經過練習之后，把不會的和運用錯誤的知識顯露出來，經過老師指導和點撥之后，徹底掌握和熟悉所學到的內容。這樣一來，學生不僅能夠把已經學到的知識吸收和鞏固，還能在做題的過程中發現新的問題和解決問題的方法，一舉多得。
3.利用知識遷移構建知識網絡
所謂知識網絡包括兩方面的內容，第一是要加深對一些基本數學概念的教學和講解，也就是那些在知識體系中運用最多、最關鍵同時也是最普遍適用的概念，例如，加減法的概念、乘除法的概念和差概念等，那些越是基本越是簡單的概念，它的適用范圍越廣，意義越深刻。只有掌握好這些基本概念，才能使知識產生遷移，學生學習起來才能更加容易。第二，小學數學中的許多概念之間是存在聯系的，老師在教學中應該引導學生把所學的數學概念進行對比，弄清楚他們之間的內在聯系，只有掌握了概念之間的聯系才能讓知識網絡清晰化，才能形成完整的知識體系，實現知識的統一。例如，在學習平面圖形的時候，我們可以將正方形、長方形、平行四邊形、梯形聯系起來，它們都是四邊形，有共同的特點，但是它們又有區別，有各自的特點和屬性，在學習的時候，老師要指導學生將這些知識點聯系起來，對四種不同的圖形進行分析和比較，形成一個比較系統的知識體系，加深學生對知識的理解和記憶，讓學生在以后復習的時候也更省力。
4.加強訓練，學會運用概念
新課標要求老師教會學生使用所學的知識解決實際生活中的一些問題，提高實踐能力。在教學過程中往往出現這樣的問題，大部分學生可以很熟練地背出概念的內容，但是在實際的解題過程中卻無從下手，不會運用所學的概念。因此，在教學中除了要讓學生學會概念外，更重要的是教會他們運用概念，鍛煉學生的實踐能力。數學源于生活，最后也要運用到生活中去，老師在講課的時候要多給學生創造實際練習的機會，讓學生運用學到的知識去解決生活中的實際問題，讓學生通過解決實際問題體驗到數學的價值和作用，激發學習數學的熱情和積極性。例如，在教學“找規律”這一節時，這節課的重點是讓學生在生活中學會觀察，通過觀察找出問題中的規律，然后解決數學問題和生活中的一些規律問題，老師在教學過程中可以多設置一些規律問題，或是在實際生活中找一些有關規律的實際例子。只有這樣，才能把所學到的知識不斷地運用和拓展，在錯誤中不斷地糾正和思考，逐漸完善自己的知識體系，正確把握所學知識的內涵和意義，能夠用所學的知識去解決實際問題，感受到數學對于生活的意義和價值，提高學習數學的興趣和信心，從而形成勇于發現和思考的精神。
一、創設現實情境，引入概念
《數學課程標準》指出：“學生的數學學習內容應當是現實的、有意義的、富有挑戰性的，數學教學活動必須建立在學生的認知發展水平和已有的知識經驗基礎上?！薄稊祵W課程標準》的這一理念，著眼于學生終身學習的愿望和能力，要求概念教學要從學生的生活經驗和知識經驗出發，根據學生的年齡特點和心理發展規律選材，題材要廣泛，呈現形式要豐富多彩，充滿學生樂于接觸的、有價值的數學題材。在概念教學時創設現實而有吸引力的學習情境尤為重要，它可以激發學生學習數學的興趣和動機，讓學生在自然的情境中產生積極主動地學習新知識的愿望。
概念的引入方式要恰當，要根據不同的概念創設不同的情境。創設情境引入概念的方式很多：創設故事情境引入，使學生興趣盎然地進行新課學習。動手操作情境引入，一些有數學背景的玩具和游戲不僅能愉悅、陶冶學生的身心，還能激發學生濃厚的探究興趣。
教師在設計具體情境時切忌單刀直入，全盤托出，而應該根據小學生的年齡特征，緊密地聯系學生已有的知識和經驗，從舊到新，由淺入深，循序漸進地引入。
二、加強實踐探究，建構概念
當學生感知概念后，為了讓學生準確把握概念，必須通過比較、分析、綜合、概括等思維活動和學習手段，剔除知識的非本質屬性，抽取其基本屬性，認真分析概念的內涵和外延，并找準概念中的重點難點給學生講解，幫助學生構建自己正確、清晰的知識框架。
《數學課程標準》明確指出：有效的數學學習活動不能單純依賴模仿記憶。動手實踐、自主探索和合作交流是學生學習數學的重要方式。
現代心理學認為：知識并不能簡單地由教師或其他人傳授給學生，而只能由每個學生依托自己已有的知識和經驗主動地加以建構。
數學概念的抽象性決定了學生要想獲得正確的概念必須有一個主動、復雜的思維過程。教師并不能把現成的概念原封不動地、簡單地“灌”或“塞”給學生，不能只重視結論的記憶而忽視對概念的理解。在教學中，我們要關注學生的探究與發展，引導學生動手操作，主動參與結論獲得的過程。如我們可以借助操作活動幫助學生建立“平均分”的概念。讓學生把八根小棒分成兩份，交流不同的分法，然后引導學生將幾種分法進行分類。讓學生通過觀察、比較后，發現“4根與4根”的分法的本質特征是“每份的根數一樣多”，并指出這種分法叫平均分。
三、借助生活經驗，理解概念
在概念教學中，教師應盡可能地將數學知識與學生在日常生活的、熟悉的、具體的材料相聯系，這樣有利于抽象的數學概念具體化、形象化，便于學生理解，同時也能激發學生的思維和探索新知的欲望。如：開始學習“角”，教師憑借常見的直觀實物（五角星、三角板等），幫助學生理解“角”的意義。
四、聯系實際運用，拓展概念
數學概念既然來源于生活，就必須回歸生活。教師要設計富有實用性、生活性的習題，讓學生用所掌握的知識思考“是怎樣做的，為什么要這樣做，還可以怎樣做”等問題，使學生的聰明才智得以充分發揮。學生對新學概念的掌握不是一次能完成的，需要由具體到抽象、再由抽象到具體地多次重復。教學中除了要重視數學概念的形成和獲得外，還要加強數學概念的應用，進一步增強學生的實踐意識。組織情境練習既能使學生靈活地運用概念、鞏固知識，又能使學生愉快地學習，在實踐中主動體驗數學的價值和魅力。
一、 揭示概念的形成過程
數學中每個重要概念的產生歷經了前人長期觀察、比較、分析、抽象、概括、創造了漫長過程，其形成過程蘊含著數學的思想方法、數學創造方法，展現數學概念形成過程的教學可使學生領悟形成概念的方法，鍛煉思維品質，激發學習興趣，增強內在活力。使其在學習過程中處于亢奮狀態。
讓學生從大量具體例子出發，從他們實際經驗的肯定例證中，以歸納方式概括出一類事物的共同本質屬性，從而獲得概念叫概念的形成。概念可分為以下幾個心理活動階段，以函數概念為例進行闡述。
⑴觀察實例，學生觀察下列事例中，指出變量與變量的關系。
①以40米/小時速度行駛的汽車，行駛的路程s與時間t。
②用圖表給出的某水庫的存水量Q與水深h。
③某一天氣溫F與時刻t。
④某一次考試的班級學生成績m與學號n。
⑤一個數y是另一個x的平方。
⑵分析共同屬性。分析各實例的屬性，并綜合出共同屬性。如上例中各實例的共同屬性有：①抽象地看成兩變量間關系②一個變量隨另一個變量變化而變化③一個變量每取定一個值，另一個變量有唯一確定的值與它對應。
⑶抽象出本質屬性，經過猜想，假設等過程，最后得到一個變量每確定一個值，另一個變量也唯一確定一個值與之對應，這是本質屬性。
⑷比較正反實例，確認本質屬性，如例④中反過來n未必是m的函數；例⑤中開平方x=+y 也不是函數，強化本質屬性，排除非本質屬性。
⑸概括出概念含義，把抽象出的本質屬性推廣到同類事物，給出名稱。這時還需要進一步區分各種本質屬性的從屬關系，找出關鍵的本質屬性下定義。
二、 揭示概念的同化過程
利用學生認識結構中原有的概念和知識經驗，以定義方式直接向學生提示概念的本質屬性，從而獲得概念的方式叫概念的同化。以“一元二次方程”概念教學為例，提示其同化過程。
⑴觀察概念的定義，名稱和符號，揭示概念的本質屬性，例如學習“一元二次方程”
這個概念，首先觀察它的定義――含有一個未知數且未知數最高次數為2的整式方程叫做一元二次方程。它的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），其本質屬性有：含有一個未知數，未知數最高次數為二次，是整式方程。
⑵對概念進行分類，討論各種特殊情況，進一步突出概念的本質屬性，
⑶把新概念系統化，把新概念同化到原認知結構中去。如上例，學生把一元二次方程同化到原有關于方程的認知結構之中，區分一元二次方程與方程，一元一次方程，分式方程，整式方程等概念，并形成一個關于方程概念的系統。
概念同化的學習過程，以學生間接經驗為基礎，要求學生具備較豐富的知識經驗，并具有積極思維能力和較高的心理活動水平，但比較省時。
三、 重視概念的建構過程
建構主義認為，學習的過程是一個主動建構的過程，建立起新的認知結構，是其經驗與認識的投入和重建，是一種具有探索性的再創活動。要求教師是數學建構活動的深謀遠慮的設計者、組織者、參與者、指導者和評估者?，F以“直線的傾斜角與斜率”一節教學為例。
⑴闡述實際意義，建立概念。黑板上畫兩個邊長差別很大的正方形，請學生用一三角板畫出它們的對角線（其中一個正方形的對角線長度小于三角板的邊長，另一個正方形的對角線長度大于三角板的邊長），小正方形的對角線容易畫出，但大正方形的對角線卻使 學生陷入困境，讓學生自己去選擇方法和探索認證，思考畫直線的理論依據除兩點確定一條直線外，還有由點與方向確定一定直線，這樣便自然產生了“直線的傾斜角”的概念，進而反思，討論用角和數進行運算的不便后，建立起斜率的概念
⑵揭示本質，理解概念。引進斜率概念后，針對關鍵詞進行分析，學生思考之余提出：“討論繞點（2，3）按逆時針方向旋轉一周的直線斜率變化情況如何？通過畫圖，利用運動的觀點解決問題，從而進一步認識了傾斜角和斜率的概念的聯系與區別及它們取值范圍和變化趨勢，通過建構活動，同化或順應于學生的認知結構。
⑶深入分析比較，深化概念
斜率和傾斜角納入原有認知結構后，提出問題：過點P（1，1），Q（2，3）的直線的傾斜角與斜率各是多少？鼓勵學生探索、創造建立兩個新的“解析成果”與最基本“解析成果”點的坐標的關系，討論、概括學生的思路：
直線上兩點坐標――――――直線斜率
正切值的坐標表示――――――直線傾斜角
如此則形成了斜率坐標公式的推導思路，通過重建充實了原認識結構。
⑷加強應用，鞏固概念。
選擇典型的循序漸進的題組進行鞏固，建立起相應的應用模式。如：
①直線過點（1，4），（3+1，1）其傾斜角和斜率各是多少？
②已知直線過點P（3，4），Q（-2-m，-m+5），當m為何值時，直線與x軸平行？當m為何值時，直線與y軸平行？當m為何值時，其傾斜角為3π/4？
③已知點M（-4，7），N（2，15）若直線1傾斜角是直線MN的傾斜角的一半，則1的斜率為多少？
這樣學生在問題激發下主動建構，從形成概念、掌握本質，直至融概念于原認知結構中，建立起新的認知結構，相對獨立地完成數學建構活動，達到概念理解深刻、全面。
四、組織概念的系統化、整體化的過程。
數學中許多概念的理解和掌握不是一次可以完成的，教師應有計劃地使學生不斷豐富和加深理解?？梢酝ㄟ^單元復習，階段復習，甚至是垮學年地總結的方式使所學的有關概念系統化和整體化，組織學生概括、歸納，不斷豐富概念的內涵和外延，充實認知結構。
例關于“角”的概念的深化與系統化
⑴平面角：①一點出發的兩條射線所組成的圖形（靜態定義）②以一條射線的端點為頂點旋轉所形成的圖形，逆時針旋轉為正角，順時針為負角，不作旋轉為零角。
⑵異面直線所成的角：在空間任意取一點，分別引兩條異面直線的平行線所成的銳角或直角，叫做兩條異面直線的所成的角。
⑶直線與平面所成的角。若直線在平面內或與平面平行，則所成角為00；若直線與平面垂直，則所成的角為900；平面內一條斜線和它在平面影所成的銳角，叫做這條斜線和這個平面所成的角。
概念同化教學模式是建立在一般學習理論基礎之上，偏重于概念的邏輯結構。這種教學模式比較簡明，使學生能夠比較直接地學習概念，因此，被稱為是“學生獲得概念的最基本方式”。概念同化雖然是一種省時、省力且見效快的概念教學模式，但在這種模式下，它忽視了數學概念本身所蘊含的現實背景，學生的學習缺乏“活動”，對概念的形成過程沒有充分的體驗。
二、APOS理論的構建
APOS別是由英文Action（操作）、Process（過程）、Object（對象）和Scheme（圖式）的第一個字母組合而成。這種理論認為，在數學概念學習中，如果引導個體經過思維的操作、過程和對象等幾個階段后，個體一般就能在建構、反思的基礎上把它們組成圖式從而理清問題情境，順利解決問題。這四個階段的內容如下：
1.活動階段（Action）：親身體驗、感受概念的直觀背景和概念間的關系。通過操作活動，理解概念的意義。
2.過程階段（Process）：對“操作”進行思考，經歷思維的內化、壓縮過程，在頭腦中進行描述和反思，抽象出概念所特有的性質。
3.對象階段（Object）：認識概念本質，對其賦予形式化的定義及符號，使其達到精致化，成為一個具體的對象。
4.圖式階段（Scheme）：反映概念的定義及符號，建立與其他概念、規則、圖形的聯系，形成綜合的心理圖式。
APOS理論將數學概念的建立分為活動――過程――對象――概念四個階段，如果數學教學停留在活動層面，那不是真正的理想的數學概念學習，數學概念學習還應上升到抽象層面，使概念的形成的“活動、過程”向“對象”階段轉化，從而達到“圖式”階段，才能掌握數學知識的本質與內在。
三、基于APOS理論的教學設計
筆者認為，APOS理論的活動階段相當于觀察、呈現數學概念的具體實體階段，過程階段則是對具體實體進行思維概括得出數學概念的階段。下面是僅以浙教版八年級（上）《平面直角坐標系》的教學設計為例來說明。
1.活動階段――創設問題情境，在活動中思考問題
筆者發給同學們一張地圖，請大家仔細觀察地圖并回答問題：
（1）向你的同桌描述建筑物A（動物園）、B（青少年宮）、C（電影院）的位置。（2）假設你在另一處D（學校），你將怎樣找到A、B、C？
結合學生的生活經驗，創造學生展開思考的環境，給予學生充分表達自己看法的機會，讓他們在自主思考、自由交流中，在與同學觀點交鋒中，撞擊出思維的火花。
2.過程階段――體驗并抽象比例概念的過程
老師廣泛聽取學生意見后，因勢利導，總結、概括大家的意見，引導學生得出確定平面某一位置的方法，以及這些方法的共同之處。接下來，老師與學生共同回顧之前學過的有關數軸的內容――數軸上的每一個點都對應著一個實數值，然后找到那個點，以此誘發學生思考平面上一個點的確定。結合先前活動的經驗，抽象得出平面上的確定位置的過程，也是尋找、設置兩條數軸（兩個方向）的過程。而兩條互相垂直的數軸也是其中的一種過程，也就構成平面直角坐標系，而這一過程也就是形成平面直角坐標系的過程。將平面直角坐標系這一概念的形成過程歸結于兩條數軸的出現過程，這應該是一種全新的視角。
3.對象階段――對平面直角坐標系形式化、工具性的表達
將平面直角坐標系作為一個新的對象來認識，對其進行形式化、工具性地表達，這是對象階段應該達到的目標。課題練習：（1）請你在先前地圖中，建立平面直角坐標系。（2）寫出各點的坐標。（3）寫出與B點關于坐標數軸相對稱的點的坐標。1小題用于鞏固平面直角坐標系的概念；2、3題皆在聯系通過點寫坐標。而這一切都將學生的動手嘗試放在老師講解之前，也是考慮到知識內容本身的難易程序和學生已有的知識背景。
4.圖式階段――建立綜合心理圖式
通過以上三個階段的教學，學生在頭腦中應該建立如下的心理圖式：現實生活中直角坐標系思想的應用、直角坐標系的作用、在直角坐標系中確定點的過程及其與數軸的區別和聯系等等。老師帶領學生訂正課堂練習，并在其中嘗試區分平面直角坐標系與數軸的不同，認識它們的優越性。
老師引導學生思考平面直角坐標系與數軸的關系，對學生拓寬思考問題的方式大有好處，明確此事物和它事物的區別與聯系，也是認識事物的一種方式。
四、數學概念教學中幾點建議
APOS理論對于數學的概念的學習能產生多大的指導作用，最終還要依賴于老師的課堂實踐。為此，提出以下幾點教學建議：
1.努力創設適合學生概念發展的現實情境。
2.對象、圖式階段是數學概念在學生頭腦中建立的長遠之計，二者可以循環上升。
關鍵詞：數學概念的教學；特征；想法
中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）18-205-01
概念的課堂教學大致經歷以下幾個環節：概念的引入、概念的生成、概念的剖析及辨析、相關概念的聯系與區別、概念應用舉例、概念的鞏固練習。
一、概念的引入
概念的引入是概念課教學的起始步驟，是形成概念的基礎。在概念課的引入上，要樹立起讓學生自己去發現的觀念，如果能讓學生產生認知沖突，對學習新概念的必要性產生需求，并主動發現新概念是最佳途徑。對于情境的設計，要結合概念的特點恰當地選取，特點不同，引入形式也就會存在差異：我們提倡借助生動、豐富的實際問題引入概念，能夠與學生的生活密切結合，這樣往往比較具體、形象，學生容易理解，也比較容易從中提煉出概念的本質屬性，下面介紹概念引入的三種想法：
1、聯系概念的現實原理引入新概念
2、從具體到抽象引入新概念
例：對于“用字母表示數”的教學，教師展示熟悉的生活實例，確立了一個學生熟悉的認知對象，由學生熟悉的鋪地用的各種形狀、各種顏色的地磚鋪地時的圖案入手。讓學生初步體會到表示任意性、一般性的問題時需要一個新的表示數的方法，體會到這類問題不用字母表示不行了，為學生創設了一個“字母表示數”的必要性的學習情節，使學生認識到“字母表示數”的重要性，從而激發了學生進一步探索有關內容的欲望，學生自己認為重要的、有用的東西，他們才能百分之百的經歷、主動、積極地投入到所要做的事情中來，這樣的學習才是最有效果的。
3、用類比的方法引入概念
類比不僅是一種重要形式，而且是引入新概念的重要方法。
二、概念的剖辨
概念生成之后，應用概念解決問題之前，往往要進行概念剖析，即用實例（包括正例與反例）引導學生分析關鍵詞的含義，包括對概念特性的考察，可以達到明確概念、再次認識概念本質的目的，還可以從中體會概念中所呈現的轉化問題的方法，這是最基本、最重要的方法。在概念剖析練習中，進一步體會概念的內涵與外延，認識函數的本質。此外，在剖析概念時通常要對概念的多種表示語言進行轉化，數學語言主要是文字敘述、符號表示、圖形表示，要會三者的翻譯，同時更重要的是強調符號感。
三、相關概念異同
數學概念不是孤立存在的，概念間都有著千絲萬縷的聯系，概念教學還應該承擔著建立與相關概念的聯系的任務，教學時，要引導學生試著對概念進行適度的聯系與發散，努力找出概念間一些體現共性的東西，以使學生形成功能良好的認知結構。
四、概念的例習
概念的形成是一個由個別到一般的過程，而概念的運用是一個由一般到個別的過程，它們是學生掌握概念的兩個階段。通過運用概念解決實際問題，可以加深、豐富和鞏固學生對數學概念的掌握，并且在概念的運用過程中培養學生的實踐能力。因此在數學教學中不僅要注意概念的形成過程，也要注意概念的應用。根據不同概念的特點，采用恰當的教學手段，激勵學生實現對概念的理解，才能使學生學得好、學得牢。這一階段，主要是選用有代表性的簡單例子，使學生形成用概念做判斷的具體步驟。
當學生在解決問題的過程中遇到困難時，讓學生養成“不斷回到概念中去，從基本概念出發思考問題、解決問題”的習慣，另外，加強概念聯系性的教學，從概念的練習中尋找解決問題的新思路。
五、概念的背景
數學是人類文化的重要組成部分，數學概念的背景、歷史與文化是數學概念教學的組成部分，是向學生滲透德育教育的好載體。許多數學概念都是有其歷史背景，都蘊含著悠久的歷史與文化，教學中我們要讓學生充分受到優秀文化的熏陶，提高學生的數學文化修養和素質。
六、數學概念的注意
